푸리에 급수 예제 속시원내과 | 2019년 8월 3일

푸리에 정수가 실제 축에 전혀 수렴되지 않는 함수 f가 발생할 수 있으며, 그럼에도 불구하고 복잡한 평면의 일부 영역에 정의된 복잡한 푸리에 변환이 있을 수 있습니다. 푸리에 변환은 함수의 컨볼루션과 곱셈 사이를 변환합니다. f (x) 및 g(x)가 각각 푸리에 변환 f의 f와 (들) 및 그리고 (들)와 통합 함수인 경우, 포리에 변환 f의 제품에 의해 컨볼루션의 푸리에 변환이 주어진다 f의 변환 (에이프티어) 및 “(푸리에의 정의에 대한 다른 규칙에 따라) 상수 계수가 나타날 수 있습니다). 요약하자면, 우리는 기본 솔루션 세트를 선택했는데, 그 중 일반적인 솔루션은 매개 변수를 통해 일체형의 형태로 (연속) 선형 조합이 될 것입니다. 그러나이 일체형은 푸리에 일체형의 형태였다. 다음 단계는 이러한 적분의 관점에서 경계 조건을 표현하고 주어진 함수 f 및 g와 동일하게 설정하는 것이었습니다. 그러나 이러한 표현식은 파생의 푸리에 변환의 특성 때문에 푸리에 적분의 형태를 취했습니다. 마지막 단계는 푸리에 변환을 양쪽에 적용하여 푸리에 반전을 악용하여 주어진 경계 조건 f 및 g의 관점에서 계수 함수 a±및 b±에 대한 식을 얻는 것이었습니다. 따라서, 푸리에 변환은 입자의 상태를 나타내는 한 가지 방법에서, 위치의 웨이브 함수에 의해, 입자의 상태를 나타내는 또 다른 방법( 운동량의 웨이브 함수)으로 전달될 수 있다. 무한히 많은 다른 편광이 가능하며 모두 동일하게 유효합니다. 한 표현에서 다른 표현으로 상태를 변환할 수 있는 것이 때로는 편리합니다.

Plancherel의 정리를 사용하면 연속성 인수로 푸리에 변환을 L2(R)의 단일 연산자로 확장할 수 있습니다. L1(R) 및 L2(R)에서 이 확장은 L1(R)에 정의된 원래 푸리에 변환과 일치하므로 푸리에 변환의 도메인을 L1(R) + L2(R)로 확대합니다(결과적으로 1 ≤ p ≤ 2에 대한 Lp(R)로 확장됩니다. 플랑쉐렐의 정리는 푸리에 변환이 원래 수량의 에너지를 보존한다는 과학의 해석을 가지고 있습니다. 이러한 수식의 용어는 표준화되지 않았습니다. 파세발의 정리는 푸리에 시리즈만으로 입증되었으며, 리야푸노프에 의해 처음 입증되었다. 그러나 파세발의 공식은 푸리에 변환에도 의미가 있으므로 푸리에 변환의 맥락에서 플랑쉐렐에 의해 입증되었지만 여전히 파세발의 공식 또는 파세발의 관계 또는 파세발의 정리라고도 합니다. f (x)가 [−T/2, T/2] 바깥쪽이0이기 때문에. 따라서 푸리에 계수는 너비 1/T 의 격자에서 샘플링된 푸리에 변환 값과 같으며 그리드 너비 1/T를 곱합니다.

이 표의 푸리에 변환은 Erdélyi (1954) 또는 Kammler (2000, 부록)에서 찾을 수 있습니다. 푸리에 변환에 대한 하나의 동기는 푸리에 시리즈의 연구에서 온다. 푸리에 시리즈의 연구에서, 복잡하지만 주기적인 함수는 수학적으로 죄와 코사인으로 표현 되는 간단한 파도의 합으로 기록됩니다. 푸리에 변환은 표현된 함수의 기간이 길어지고 무한대에 접근할 수 있을 때 발생하는 푸리에 시리즈의 확장입니다. [11] 스튜어트 리플은 푸리에 변환의 훌륭한 해석을 가지고 : 이 푸리에 변환은 f의 전력 스펙트럼 밀도 함수라고합니다.